EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Un’equazione differenziale è un’equazione che ha per incognita una funzione y con variabile indipendente x e che stabilisce una relazione tra x, y e almeno una derivata di y. L’ordine dell’equazione differenziale dipende dall’ordine massimo delle derivate che compaiono nell’equazione differenziale. Risolvere un’equazione differenziale vuol dire trovare tutte le sue soluzioni ovvero tutte quelle funzioni che verificano l’equazione. L’insieme di tutte le soluzioni è detto integrale generale poiché presenta uno o più parametri reali. Se si impongono delle condizioni che permettono di trovare i valori dei parametri, si ottiene una sola soluzione che è detta integrale o soluzione particolare.
$$ y’- ax² = 0 → y’= ax² $$
La soluzione è un insieme di funzioni y quindi per trovare le funzioni y basta integrare membro a membro poiché l’integrale indefinito di una funzione derivata è la funzione stessa.
$$ y=∫ax^2 dx=\frac{ax^3}{3}+c→Integrale\:generale $$
Se invece si ha un’equazione differenziale e si impone una condizione iniziale si può ottenere una soluzione particolare, questo tipo di problema è chiamato problema di Cauchy. Risolvere il problema di Cauchy vuol dire trovare tra tutte le infinite soluzioni dell’integrale generale quella che soddisfa le condizioni iniziali.
$$ \begin{cases}y'=2x+1\\ f(2)=5\end{cases} →y=∫(2x+1)dx=∫2xdx+∫1dx=x^2+x+c $$
Assegnando alla y il valore 5 e alla x il valore 2 possiamo trovare il valore di c.
$$ Se\;y=5\:e\:x=2 → 5=4+2+c→ c=-1 ⇒ y=x^2+x-1 → Soluzione \: particolare $$
Un’equazione differenziale in cui è presente, come derivata di ordine massimo, una derivata seconda si dice di secondo ordine. Quando si esplicita rispetto alla derivata seconda l’equazione si dice che è in forma normale. Le soluzioni di un’equazione differenziale di secondo ordine sono funzioni y con variabile indipendente x che contengono due parametri reali.